Mnohostěny a rotační tělesa

Mnohostěny
Mnohostěn
Je těleso, jehož steny tvoří mnohoúhelníky, z nichž žádní dva neleží ve stejné rovině, a každá strana libovolného mnohoúhelníka je zároveň stranou jiného mnohoúhelníka.
Eulerova věta
s + v = h + 2
určuje počty vrcholů v, počty hran h a počty stěn s libovolného mnohostěnu
Pravidelný mnohostěn
Je konvexní těleso, jehož strany jsou tvořeny shodnými pravidelnými mnohoúhelníky.






























Hranol
Je mnohostěn, jehož dvě shodné stěny (podstavy) leží v rovnoběžných rovinách. Boční stěny tvoří rovnoběžníky tvořící plášť hranolu. U n-bokého hranolu je postavou n-úhelník.
Výška je pak vzdálenosti podstavných rovin.
Kolmý hranol
Je mnohostěn, jehož boční hrany jsou kolmé na rovinu podstavy.
Kosý hranol
Je takový hranol, který není kolmý.


Rovnoběžnostěn
Je hranol, jehož podstavou je rovnoběžník.



Jehlan
Je mnohostěn, jehož podstava je tvořena mnohoúhelníky a jehož jediný vrchol neleží v rovině podstavy. Vzdálenost tohoto jediného vrcholu od roviny podstavy je výška jehlanu




Komolý jehlan
Vzniká oddělením špičky jehlanu rovinou rovnoběžnou s rovinou podstavy. Výška je vzdálenost rovin obsahujících obě podstavy.






Rotační tělesa
Rotační těleso je těleso vzniklé rotací rovinného útvaru kolem osy.
Válec
Toto těleso vznikne rotací pravoúhelníku kolem jedné jeho strany.




Kužel
Vzniká rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné jeho odvěsny.




Komolý kužel
Vzniká rotací pravoúhlého lichoběžníku kolem strany kolmé
k oběma základnám.

Koule
Koule vzniká rotací půlkruhu kolem průměru.



Části koule
Kulová úseč
Kulová úseč vzniká oddělením části koule, druhé kulové úseče, rovinou.
Vrchlík je kulová úseč bez podstavy.







Kulová vrstva
Vzniká oddělením dvou kulových úsečí dvěma rovnoběžnými rovinami.
Kulový pás je kulová vrstva bez obou podstav.










Řešené příklady
Kvádr má objem 7,5dm3, jeho rozměry jsou v poměru 3 : 4 : 5. Vpočti jeho povrch a délku tělesové úhlopříčky.

V = 7,5 dm3 = 7 500 cm3
a : b : c = 3 : 4 : 5
 a = 3k, b = 4k, c = 5k
V = 7 500 = a  b  c = 3k  4k  5k = 60k3
 k = 5
 a = 15 cm, b = 20 cm, c = 25 cm
S = 2(ab + bc + ac) = 2(15  20 + 20  25 + 15  25)
S = 2 350 cm2
u = √(a^(2 )+ b^2+ c^2 ) = √(〖15〗^2+ 〖20〗^2+ 〖25〗^2 ) = 25√2
u ≐ 35,4 cm
Povrch kvádru je 2 350 cm2 a jeho tělesová úhlopříčka má délku přibližně 35,4 cm.

Vypočítej délku hrany a povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu, který má všechny hrany (podstavné i bočné) stejně dlouhé, je-li dán jeho objem V.
V = 1/3 a^2 v
S = a^2+4S_(△ABV)
v = √(a^2-(2a^2)/4) = √(a^2/2) = (a√2)/2
V = 1/3 a^2∙(a√2)/2 = (a^3 √2)/6
a = ∛(6V/√2) = ∛((6V√2)/2) = ∛(3V√2) j
l = a/2 √3
S = a^2+4a/2 a/2 √3 = a^2+a^2 √3 = a^2 (1+√3) = ∛(18V^2 ) (1+√3)j2
Délka hrany jehlanu je ∛(3V√2) j a povrch jehlanu je ∛(18V^2 ) (1+√3)j2.

Komolý rotační kužel má poměry podstav a výšku v poměru 3 : 11 : 15, povrch je 92 cm2. Vypočítej jeho objem.

r1 : r2 : v = 3 : 11 : 15
 r1 = 3k, r2 = 11k, v = 15k
s = √((r_1-r_2 )^2+v^2 ) = √(65k^2+225k^2 )
s = 17k
k2 = 1/4  k = 1/2
 r1 = 3/2 r2= 11/2 v = 15/2 s = 17/2
V = 1/3 πv(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2 )
V ≐ 320 cm2

Objem kužele je 320 cm2
Urči povrch kulového pásu a objem kulové vrstvy, jsou-li dány poměry podstav 11,2 cm a 3,2 cm a poloměr koule je 13 cm, přičemž střed koule neleží uvnitř vrstvy.

1 = 11,2 cm
2 = 3,2 cm
r = 13 cm
v = x – y
x = √(r^2-ρ_2^2 ) = √(〖13〗^2-〖3,2〗^2 )
x≐12,6 cm
y = √(r^2-ρ_1^2 ) = √(〖13〗^2-〖11〗^2 )
y ≐ 6,6 cm
V = πv/6∙(3ρ_1^2+3ρ_2^2+v^2 ) = π∙(3∙〖11,2〗^2+3∙〖3,2〗^2+6^2 )
V ≐1 391,85 cm2
S = 2rv = 2  13  6
S ≐ 490, 1 cm2
Povrch kulového pásu je 490,1 cm2a objem kulové vrstvy je 1 391,85 cm3.

Příklady s výběrem správné odpovědi
Sloup vysoký 20m je ve ¾ připevněn osmi lany, jejichž délka je 25m. Konce lan jsou od sebe stejně vzdáleny. Jaká je tato vzdálenost zaokrouhlená na celé metry?
10m
5m
15m
20m
(Správně je možnost c.)
Délky hran kvádru jsou v poměru 2 : 1 : 6 a jeho povrch je 0,1 m2. Objem tohoto kvádru je:
150 dm3
15 dm3
1,5 dm3
0,15 dm3
(Správně je možnost c.)
Dřevěný sloup má tvar pravidelného trojbokého hranolu, váží 150 kg a je vysoký 160 cm (hustota dřeva je 150 kgm-3). Jedna plechovka barvy postačí na jeden nátěr plochy o obsahu 5 m2. Pro dva nátěry pláště sloupu je třeba koupit:
Jednu plechovku
Dvě plechovky
Tři plechovky
Alespoň čtyři plechovky
(Správně je možnost c.)
Dutá koule má vnitřní průměr 56 cm. Kolik litrů vody obsahuje, je-li hladina vody ve výšce 10 cm?
7,75 l
0,75 l
77,5 l
7,75 dl
(Správně je možnost a.)
Použitá literatura
Řídká, E., Blahunková, D., Chára, P. – Maturitní otázky z matematiky, Tutor, 2006, Praha, ISBN: 80-86700-14-3
Čermák, P., Červinková, P. – Odmaturuj! Z matematiky, DIDAKTIS, 2002, Brno,
ISBN: 80-86285-38-3